外文翻译|格罗腾迪克到底做了什么？

格罗腾迪克去世后的宣传让一些非数学家产生了这样的疑问：他到底做了什么？我在其他地方写了一个答案，人们似乎觉得很有参考价值，所以我把它保存在这里供后人参考。

这篇文章是我所能做到的最非技术性的。格罗腾迪克的工作技术性很强，即使以现代抽象数学的标准来看也是如此，所以我的描述，如果你是善意的，那就是高度的印象主义，如果你不是善意的，那就是在许多主要细节上是错误的。我也只讨论了方案和魏尔猜想，这只是格罗腾迪克著名的一部分。

自笛卡尔以来，数学研究的一个主要课题是理解多项式方程的解。笛卡尔观察到，虽然寻找解是一个代数的问题，但当你把所有的解放在一起看时，你就进入了几何学的领域。例如，X²+Y²=1的解的集合是一个圆。

一个或多个多项式方程的解的集合被称为一个品种，对这种东西的研究被称为代数几何。

最初，代数几何涉及实数或复数的解。(通常是复数，因为这更容易，因为你可以自由地取平方根等，而不必担心符号问题）。但是，你需要的唯一定义是，你可以加、减和乘。(一个可以加减乘的集合被称为环。

因此，格罗腾迪克着手将代数几何推广到任意的环。他对多样性的概括被称为 "方案"。有趣的是，如果你从一个品种开始（在复数上），有一个标准的方法可以将一个环与之联系起来，在这种情况下，格罗腾迪克的构造并没有给你带来任何新的东西。对于其他种类的环，你才会得到新的东西。所以在品种和环之间有一个部分的字典，而方案在字典中是缺失的条目。

环的另一个例子是整数--你可以对整数进行加减和相乘。在这里，方案的概念抓住了一个奇怪的想法，可以追溯到19世纪。整数的方案由每个质数的一个点组成。所以你可以把整数想象成一条直线上的2、3、5、7......的点，而不是其他地方。(物理学家会在9处多加一个点，而格罗腾迪克本人会在57处多加一个点）。因此，方案与数论自然相关，事实上，它有助于证明数论中的定理，如费马最后定理。

再来说说魏氏猜想。想想钟表算术。你可以在钟面上加、减、乘以小时或分钟。在每一种情况下，你都用普通的数字做算术，然后你扔掉12的倍数（对于小时）或60（对于分钟）。这种抛开倍数的操作被称为 "模 "运算。所以7乘以2调制12就是2。

还有一些其他的 "模 "运算法则的例子，你可能在不知道的情况下使用过。取一个数字的最后一个数字与该数字的模数10相同。所以1234的模数是4。一个数字的数字相加与模数9相同。如果你学会了通过数字相加来检查一个数字是否是3的倍数的技巧，你实际上是在做模数9。

模数N的数字给了你另一个环——你可以对模数N进行加减或乘法，这就给了你另一个模数N的数字。

模数N的好处是，它们的数量有限。它们在数论中也很有用。比方说，你想知道某个整数上的多项式方程是否有解--比如X3+Y3=Z3。一个简单的检查是看是否有任何解决方案，如果没有，那么就根本没有任何解决方案。因此，数论的一个有趣的问题是，有多少个解是以N为模数的？

安德烈-韦尔（他的妹妹是西蒙-韦尔）猜想了一种解的模数的公式，他通过一个牵强的拓扑学类比来实现。

以一个圆盘（一个被填满的圆）为例，考虑该圆盘到其本身的连续映射。连续映射的一个例子是旋转，即围绕圆盘的中间旋转。你围绕它旋转的那一点是一个固定点--它不会移动。你可以证明（这是一个很难的定理），每一个连续地图都必须有至少一个固定点。有一个更通用的公式，叫做Leftschetz固定点公式，它允许你计算一般的固定点的数量（对于比圆盘更复杂的形状）。

对于整数模数N，你可以做加减法和乘法，但你不能总是做除法，也不能总是做取平方根这样的事情。(这里，如果x*x是y的模数，那么x就是y的模数的平方根，所以3是2的平方根，模数为7。很奇怪，是吧？）

除法问题很容易解决--只要让N是一个素数。根的问题比较难解决，因为即使N是素数，有些数字也没有平方根、立方根等。解决方案是在N的基础上增加 "虚数"，就像我们增加i、-1的平方根来得到复数一样。复数有一个定义在它们身上的操作，叫做共轭，它把i送到-i。有一个类似的操作，叫做弗罗比纽斯自变量。

韦尔说，我们假设对N的运算是一种空间，那么我们就可以应用列夫谢兹定点定理，并计算解的数量。这是一个完全牵强的神学，因为这里没有几何学。

这就是方案的作用。方案提供了缺失的几何学。格罗腾迪克展示了如何将拓扑学技术推广到这一环境中，从而可以证明莱夫谢兹定点定理的一个版本，以解决魏尔猜想。该证明是荒谬的、抽象的，但它与一个相对具体的问题有关。(不幸的是，猜想给你的公式它本身就有点难用，所以我不知道有什么简单的解释，但我认为它在编码理论和密码学中确实有一些现实世界的应用)。